Real Numbers

Real number, 즉 실수는 다음의 조건을 만족하는 complete(완비)한 ordered field(순서체) 이다.

Field(체)를 위한 조건

어떤 집합 F가 Field가 되기 위해서는 아래의 조건을 모두 만족해야만 한다.

  • 집합 F위에 덧셈과 곱셈이 정의되어 있다. (덧셈과 곱셈에 대해 닫혀있어야 한다)
  • Abelian group for addition $(\mathbb{R},+)$
    • $\forall a,b,c \in \mathbb{R}, $ satisfy following conditions
      - (a+b)+c = a+(b+c) (associativity)
      - a+b = b+a (commutativity)
      - $\exists 0 \in \mathbb{R}, \ \forall x \in \mathbb{R} : x+0 = x $ (Neutral Element)
      - $\forall x \in \mathbb{R} \ \exists -x \in \mathbb{R} : x -x = 0$ (Inverse Element)
  • Abelian group for addition $(\mathbb{R},\times)$ (excepts 0)
    • $\forall a,b,c \in \mathbb{R}, a\neq 0, $ satisfy following
      • (ab)c = a(bc)
      • ab = ba
      • $\exists 1 \in \mathbb{R}, \ \forall x \in \mathbb{R} : x\times 1 = x $
      • $\forall x \in \mathbb{R} \ \exists x^{-1} \in \mathbb{R} : x \times x^{-1} = 1$
  • $\forall a,b,c \in \mathbb{R} : $ satisfy a(b+c) = ab+ac

우리의 주 목적은 복소수를 보는 것이므로, 순서체와 완비성은 건너뛰도록 하겠다.

Complex Numbers

우리가 고등학교 때 배웠던 복소수는, 실수를 포함하며, 허수인 i를 포함하고 있는 수였다. 그 후에, 복소수의 성질을 살펴보다 보면 많은 실수들의 성질이 복소수에서도 작동한다는 것을 알게 되면, 그저 신기함 정도로 넘어가곤 한다. 하지만, 복소수의 정의에는 원래 실수가 포함되어있다.

복소수의 집합은 다음과 같이 정의했다. \(\mathbb{C} := \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \{(a,b) | a,b \in \mathbb{R} \}\)

이 집합에서 곱셈과 덧셈은 다음과 같이 정의된다. \(\begin{aligned} (a,b) + (c,d) := (a+c,b+d) (a,b) \cdot (c,d) := (ac-bd,ad+bc) \end{aligned}\)

이 덧셈과 곱셈은, 실수 연산으로만 정의되고, 실수는 복소수에 포함되니, 해당 연산들에 대해서 닫혀있다.

비유적 설명

잘 이해가 안 갈수 있다. 그렇다면, 나의 지인이 알려준 것과 같은 비유를 쓰면, 이해하기가 좀더 간편해질 것이다.

일단, 우리가 실수에서 “체”에 해당하는 성질들을 class를 사용하여 코딩한다고 생각하자.

1. “실수”에 대한 class를 제작한다.

2. 만들어진 “실수”라는 class를 상속받아, 정의할 수 없던, 제곱해서 음수가 나올 수 있는 tuple을 만든다.

3. 그 이후, 기본적으로 정해진 연산자만 복소수에 맞추어 override한다.

끝이다. 애초에 복소수는 이렇게 정의된 것으로, 실수와 연을 끊을 수 없는 사이였던 것이다.

벡터 공간과의 관계

회전

우리가 배운 회전 변환은 다음과 같으며 일종의 선형사상이다. \(R_{\theta}:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\qquad \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\cos\theta - y\sin\theta\\ x\sin\theta + y\cos\theta \end{pmatrix}.\)

근데, 아래의 matrix는 다음과 같다. \(\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} = e^{i\theta}\)

그렇다면, 복소수와 실수 사이에 관계에 대해서 혼란이 있을 수 있다.

복소수체의 벡터 공간

어떤 집합 $V$ 가 $\mathbb{R}$ - 벡터공간이 되려면 아래의 조건을 만족하면서, 벡터공간의 공리를 만족하면 된다.

\[\begin{aligned} + : V \times V \rightarrow V \\ \cdot : \mathbb{R} \times V \rightarrow V \end{aligned}\]

그렇다면, $\mathbb{C}$ 에서는 위의 공리를 만족할 수 있을까?

\[\begin{aligned} z = a + bi (a,b \in \mathbb{R}), \lambda \in \mathbb{R} \\ (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i \in \mathbb{C} \\ \lambda z = \lambda (a+bi) = (\lambda a) + (\lambda b)i \in \mathbb{C} \end{aligned}\]

보다시피 만족한다. 따라서 $\mathbb{C}$ 는 $\mathbb{R}$ -벡터공간이다.

또한, $\mathbb{R}^2$ 또한 체는 아니지만(가군,module), $\mathbb{R}$ -벡터공간이기에, 둘은 vector isomorphic하다.

그러니, $\mathbb{R}^2$ 과 $\mathbb{C}$ 은 사실 같은 공간을 다른 “언어”로 표현한 것과 같아지는 것이다.

TMI

벡터공간의 scalar는 체이다.
모듈의 scalar는 환이다.

즉, 벡터공간의 모듈에서 scalar가 체인 특별한 경우이다.

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