[MATH] Hermitian Symmetry & Wide definition of Vector space
Background
우리는 복소수 공간에서 내적을 정의할 때, Symmetry(대칭성)이라는 조건이 있었다. 만약 내적의 조건에 대해서 모른다면 이 포스트를 참고하자.
그런데, 이상하지 않은가?
\[\text{(Real case)}\quad \langle x,y\rangle = \langle y,x\rangle, \qquad \text{(Complex case)}\quad \langle x,y\rangle = \overline{\langle y,x\rangle}.\]다음과 같이, 하나의 대칭성인데, 실수체와 복소수체에서의 정의가 다르다. 이는 아름답지 않다. 그렇다면 왜 이렇게 정의를 하게 된 것일까?
Conditions for a real vector space
그러면, 우리는 일단 실수체에서 벡터공간을 정의할 때 필요한 조건들을 살펴볼 필요가 있다. 이는 다음과 같다.
Positive-definiteness
\[\begin{aligned} \forall x \in V,\ \langle x,x\rangle \ge 0,\qquad \\\\ \langle x,x\rangle = 0 \iff x=0. \end{aligned}\]Bilinearity
\[\begin{aligned} \forall x,y,z\in V,\ \forall a,b\in\mathbb{R}: \\\\ \langle ax+by, z\rangle = a\langle x,z\rangle + b\langle y,z\rangle \\\\ \langle x, ay+bz\rangle = a\langle x,y\rangle + b\langle x,z\rangle \end{aligned}\]Symmetry
\[\langle x,y\rangle = \langle y,x\rangle\]자, 이 중에 1번 (Positive-definiteness)은 벡터의 Norm을 정의하는데 중요한 역할을 하기에, 항상 성립되어야만 한다.
왜 실수에서의 내적을 사용할 수 없을까?
Counter-example of Bilinearity in Complex Field
자. 실수체에서는 한 쪽 변수에 대해서 선형이면서 대칭이면, 다른 쪽 변수에 대해서도 선형이다. 증명은 아래와 같다.
\[\begin{aligned} \text{Let},\quad x\in V, \quad y_1,y_2\in V, \text{and} \quad a,b\in\mathbb{R}. \quad \text{Then} \\\\ B(x,ay_1+by_2) \\\\ = B(ay_1+by_2,x) \\\\ = aB(y_1,x)+bB(y_2,x) \\\\ = aB(x,y_1)+bB(x,y_2) \\\\ \end{aligned}\]그러나, 이런 성질은 복소수에서는 적용할 수 없다. 왜냐하면 아래와 같이 내적이 항상 0인 trivial한 경우만 존재하기 때문이다.
\[\begin{aligned} \langle ix,ix\rangle = i^2\langle x,x \rangle = -\langle x,x \rangle \\\\ \text{But}, \langle x,x \rangle \geq 0 \\\\ \text{Therefore}, \langle x,x \rangle = x = 0 \end{aligned}\]따라서, 우리는 내적에서 쌍선형성을 요구하는 것이 아닌 선형성 만을 요구한다.
Counter-example of Symmetry in Complex Field
그렇다면, 한 쪽 변수에 대해서만 Linearity를 가지고, 실수에서 사용하던 단순 대칭이라고 가정하자. 그렇다면 아래와 같은 문제가 생긴다. 또 똑같은 Trivial한 경우만 생긴다.
\[\begin{aligned} \langle ix,ix\rangle = i\langle x,ix \rangle = i\langle ix,x \rangle = -\langle x,x \rangle \\\\ \text{But}, \langle ix,ix \rangle \geq 0 \\\\ \text{Therefore}, \langle x,x \rangle = x = 0 \end{aligned}\]Hermitian symmetry
따라서, 우리는 내적에서 단순 대칭성을 요구하는 것이 아닌 아래와 같은 켤레 대칭성 만을 요구한다.
Conditions of Vector space
1. Positive-definiteness
\[\begin{aligned} \forall x \in V,\ \langle x,x\rangle \ge 0,\qquad \\\\ \langle x,x\rangle = 0 \iff x=0. \end{aligned}\]2. Linearity
\[\begin{aligned} \forall x,y,z\in V,\ \forall a,b\in\mathbb{F}: \quad \langle ax+by, z\rangle = a\langle x,z\rangle + b\langle y,z\rangle, \\\\ \text{where} \quad \mathbb{F} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\} \end{aligned}\]3. Conjugate symmetry
\[\text{(Real case)}\quad \langle x,y\rangle = \langle y,x\rangle, \qquad \text{(Complex case)}\quad \langle x,y\rangle = \overline{\langle y,x\rangle}.\]라고, 정리할 수 있겠다. 그런데 조금 이상하지 않은가? 다른 조건들은 Real case와 Complex case로 나뉘어져있지 않지만, 이것은 나뉘어져있다. 그렇다면, 더 상위의 조건이 있지 않을까?
General Conditions of Vector space
Setup
Let $\mathbb{F}$ be a field and $\sigma:\mathbb{F}\to\mathbb{F}$ an involution:
\[\sigma(\sigma(a))=a,\qquad \sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b),\qquad \sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b).\]Examples:
\[\mathbb{F}=\mathbb{R}:\ \sigma(a)=a,\qquad \mathbb{F}=\mathbb{C}:\ \sigma(z)=\overline{z}.\]$\sigma$ -inner product A map $\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbb{F}$ is a $\sigma$ -inner product if:
(1) $\sigma$ -sesquilinearity
\(\langle ax+by,\ z\rangle=a\langle x,z\rangle+b\langle y,z\rangle,\)
\(\langle x,\ ay+bz\rangle=\sigma(a)\langle x,y\rangle+\sigma(b)\langle x,z\rangle.\)
(2) $\sigma$-Hermitian symmetry
\(\langle x,y\rangle=\sigma(\langle y,x\rangle).\)
(3) Positive definiteness
\(\langle x,x\rangle>0\quad (x\neq 0).\)
$\sigma$
\(\sigma=\mathrm{id}\ \Rightarrow\ \langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle, \qquad \sigma=^*=\overline{(\cdot)} =\ \Rightarrow\ \langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}.\)
- id = identity map
Conjugate linearity
\[\begin{aligned} \forall\,x,y_1,y_2\in V,\ \forall\,a,b\in\mathbb{C}, \\\\ \langle x,\,ay_1+by_2\rangle \\\\ =\overline{\langle ay_1+by_2,\,x\rangle} \\\\ =\overline{a\langle y_1,x\rangle+b\langle y_2,x\rangle} \\\\ =\overline{a}\,\overline{\langle y_1,x\rangle}+\overline{b}\,\overline{\langle y_2,x\rangle} \\\\ =\overline{a}\,\langle x,y_1\rangle+\overline{b}\,\langle x,y_2\rangle \end{aligned}\]이렇게, 한쪽 변수에 대해서 선형이고, 켤레 선형성을 가지면, 항상 다른 쪽 변수에 대해 켤레 선형성을 가지게 된다.