[MATH] Hermitian Inner Products
Background
우리는, 복소수체 안의 벡터공간에 대해서는 아래와 같이 정의한다.
\[\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i \overline{y_i}\]왜, 실수체 안의 벡터공간에서 사용하는 아래의 식을 사용하지 않을까?
\[\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i\]그 이유를 살펴보려면, 내적이 무엇인지부터 살펴봐야한다.
Hermitian inner product
실수체 $\mathbb{R}$ 또는 복소수체 $\mathbb{C}$ 위에 있는 벡터공간 $V$ 에 대해서 함수
\[\langle \cdot,\cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{F} ( \mathbb{F} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\} )\]가 아래의 조건을 만족하면, 해당 함수를 내적으로 정의한다.
Positive-definiteness
\[\begin{aligned} \forall x \in V,\ \langle x,x\rangle \ge 0,\qquad \\\\ \langle x,x\rangle = 0 \iff x=0. \end{aligned}\]Linearity
\[\begin{aligned} \forall x,y,z\in V,\ \forall a,b\in\mathbb{F}: \quad \langle ax+by, z\rangle = a\langle x,z\rangle + b\langle y,z\rangle, \\\\ \text{where} \quad \mathbb{F} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\} \end{aligned}\]Conjugate symmetry
\[\text{(Real case)}\quad \langle x,y\rangle = \langle y,x\rangle, \qquad \text{(Complex case)}\quad \langle x,y\rangle = \overline{\langle y,x\rangle}.\]Sesquilinearity (Lemma)
\[\begin{aligned} \forall x,y,z\in V,\ \forall a,b\in\mathbb{F}: \quad \langle x,ay+bz\rangle = \overline{a}\langle x,y\rangle + \overline{b}\langle x,z\rangle, \\\\ \text{where} \quad \mathbb{F} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\} \end{aligned}\]Hermitian
여기서, 우리가 흔히 실수체의 벡터공간에서 사용하는 내적을 사용해서 풀면, 다음과 같아진다.
\[x = y = i \quad \Rightarrow \quad \langle x, y \rangle = \langle x, x \rangle = \langle i, i \rangle = -1\]보라. 내적을 정의할 때의 조건 중 하나였던, Positive-definiteness(양의 정부호성)을 위반하게 되므로, 우리는 실수체의 벡터공간에서 사용하는 내적 연산을 복소수체에 적용할 수 없다.
따라서, 우리는 표준적으로 복소수에 대한 내적을 다음과 같이 정의한다.
\[\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i \overline{y_i}\]이는, 아까의 문제였던, Positive-definiteness도 만족하게 된다.
\[\begin{aligned} \langle x, x \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i \overline{x_i} = \sum_{i=1}^{n} |x_i|^2 \\\\ |x_i|^2 \in \mathbb{R}_{\ge 0} \end{aligned}\]추가적으로 더 넓은 범위를 포괄하는 내적의 정의를 보고 싶다면, 이 포스트를 참고하라.