[MATH] Euler’s Formula

Euler’s Formula

\[e^{i\theta} = cos\theta + isin\theta, \ e^{i\pi} + 1 = 0\]

학부 때, 한번은 들어봤을 오일러 공식이다. 특히 뒤의 식의 경우, 파이와 자연상수를 모두 하나로 묶어주는 면에서 아름다움을 느끼는 사람도 있다고 한다.

우리의 목표는, 어떻게, 해당 Formula를 행렬로 바꿀 것인가를 담을 것이다.

what is i

\(i = \sqrt{-1}\) 라고 쓸 수도 있지만, 정의 상, 아래와 같이 쓰는게 좀더 타당하다. \(i^2 = -1\)

i to matrix

그렇다면 -1을 행렬로 쓴다면 아래와 같다.

\[\begin{pmatrix} -1 \quad 0 \\ 0 \quad -1 \end{pmatrix}\]

이유는, 임의의 단위행렬 $I$ 는 곱해준다고 해도, 행렬 연산에 차이를 주지 않기 때문이다.

그렇다면, 우리는 제곱을 하였을 때, 아래 행렬이 나오는 것들을 i로 쓸 수 있으며 아래 3개의 행렬이 제곱했을 때 -1이 나오게 된다.

\[\begin{pmatrix} 0 \ -1 \\ 1 \quad 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \quad i \\ i \quad 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i \quad 0 \\ 0 \ -i \end{pmatrix}\]

실수 공간에서 정의 가능한 첫 번째의 행렬을 사용한다면 다음과 같게 된다.

\[\begin{aligned} cos\theta + isin\theta = 1*cos\theta + isin\theta \\ = cos\theta * \begin{pmatrix} 1 \quad 0\\ 0 \quad 1 \end{pmatrix} + sin\theta * \begin{pmatrix} 0 \ -1\\ 1 \quad 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\theta \ -sin\theta\\ sin\theta \quad cos\theta\\ \end{pmatrix} \end{aligned}\]

자, 그러면 우리는 이상한 느낄 수 있다. 위의 행렬이, 회전변환 행렬이라면, 우리가 하는 회전변환은, 실수를 복소수로 만드는 과정인 것인가?

이 질문의 답은, 이 포스트를 이해한다면 이해할 수 있다.